Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数，）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求使得恒成立的最小整数.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2.

【解析】

（1）对函数进行求导，根据的不同取值，求出函数的单调性；

（2）结合（1）求出当时，的最大值，再根据题意，列出不等式，最后求出的最小整数值.

（1），

令.

当时，，所以函数是实数集上的减函数；

当时，当，在上单调递减；当在上单调递增；

当时，当在上单调递减；当在上单调递增；

（2）由（1）知：当时，函数在时，单调递减，由题意可知：

，得舍去；

当时，在上单调递减，由题意可知：，得舍去；

当时，在上单调递增；在上单调递减，所以有：，

，可得，

令，

由，可得，即，在上是单调递增函数，因为，所以当时，使得恒成立的最小整数值为2.