Question

已知圆O以x+2y-3=0与2x-y-1=0的交点为圆心，且与两个坐标轴相切．
（1）求圆O的标准方程；
（2）若斜率为

3

的直线l与圆O交与A、B两点，且|AB|=

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）联立

x+2y-3=0 2x-y-1=0

，得圆心坐标为O（1，1），由圆与两个坐标轴相切，得圆半径r=1，由此能求出圆的方程．
（2）设l：y=

3

x+b，则圆心到l的距离d=

| 3 -1+b|

2

=

1

2

，由此能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）联立

x+2y-3=0 2x-y-1=0

，得x=1，y=1，
∴圆心坐标为O（1，1），
∵圆与两个坐标轴相切，∴圆半径r=1，
∴圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1．（4分）
（2）∵斜率为

3

的直线l与圆O交与A、B两点，且|AB|=

3

，
∴设l：y=

3

x+b，则圆心到l的距离d=

| 3 -1+b|

2

=

1

2

，
解得b=2-

3

或b=-

3

．（10分）
∴l：

3

x-y+2-

3

=0或

3

x-y-

3

=0．（12分）

点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．