Question

数列{a_n}满足a1=29，an-an-1=2n-1(n≥2，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

n

，则n为何值时，{b_n}的项取得最小值，最小值为多少？

Answer 1

分析：（1）利用累加法可求得a_n，注意检验n=1时的情形；
（2）由（1）可得bn=n+

28

n

，借助“对号函数”的性质可求得其最小值，注意n∈N^*；

解答：解：（1）由a_n-a_n-1=2n-1（n≥2），得
n≥2时，a₂-a₁=3，a₃-a₂=5，a₄-a₃=7，…，a_n-a_n-1=2n-1，
以上各式相加，得a_n-a₁=

(n-1)(2n+2)

2

=n²-1，
又∵a₁=29，∴an=n2+28，
由a₁=29适合上式，
∴an=n2+28；
（2）由（1）知，bn=

an

n

=

n2+28

n

=n+

28

n

，
令f（x）=x+

28

x

（x≥1），则f（x）在[1，2

7

]上递减，在[2

7

，+∞）上递增，
f(x)min=f(2

7

)，
又n∈N^*，且b5=5+

28

5

=10+

3

5

，b6=6+

28

6

=10+

2

3

，b₅＜b₆，
∴n=5时，{b_n}的项取得最小值，最小值为

53

5

．

点评：本题考查由数列递推式求数列的通项、数列的函数特性，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，累加法是求数列通项的常用方法，要熟练掌握，注意检验n=1时的情形．