Question

ÍÖÔ²G£º

x2

a2

+

y2

b2

=1(a£¾b£¾0)µÄÁ½¸ö½¹µãΪF₁£¨-c£¬0£©£¬F₂£¨c£¬0£©£¬MÊÇÍÖÔ²ÉϵÄÒ»µã£¬ÇÒÂú×ã

F1M

•

F2M

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£¨1£©ÇóÀëÐÄÂʵÄÈ¡Öµ·¶Î§£»
£¨2£©µ±ÀëÐÄÂÊeÈ¡µÃ×îСֵʱ£¬µãN£¨0£¬3£©µ½ÍÖÔ²ÉϵĵãµÄ×îÔ¶¾àÀëΪ5

2

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¢ÙÇó´ËʱÍÖÔ²GµÄ·½³Ì£»
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3

3

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Answer 1

£¨1£©ÉèM£¨x£¬y£©£¬Ôò

F1M

=(x+c£¬y)£¬

F2M

=(x-c£¬y)
ÓÉ

F1M

•

F2M

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ÓÖMÔÚÍÖÔ²ÉÏ£¬¡ày2=b2-

b2

a2

x2£¨2·Ö£©
¡àc2-x2=b2-

b2

a2

x2⇒x2=a2-

a2b2

c2

£¬£¨3·Ö£©
ÓÖ0¡Üx²¡Üa²¡à0£¼2-

1

e2

¡Ü1⇒

2

2

¡Üe¡Ü1£¬£¨4·Ö£©
¡ß0£¼e£¼1£¬¡à

2

2

¡Üe£¼1£¨5·Ö£©
£¨2£©¢Ùµ±e=

2

2

ʱµÃÍÖԲΪ

x2

2b2

+

y2

b2

=1
ÉèH£¨x£¬y£©ÊÇÍÖÔ²ÉÏÒ»µã£¬
Ôò|HN|²=x²+£¨y-3£©²=£¨2b²-2y²£©+£¨y-3£©²=-£¨y+3£©²+2b²+18£¬£¨-b¡Üy¡Üb£©
£¨6·Ö£©
Éè0£¼b£¼3£¬Ôò-3£¼-b£¼0£¬µ±y=-bʱ£¬|HN|_max²=b²+6b+9£¬£¬ÓÉÌâÒâµÃb²+6b+9=50
¡àb=-3¡À5

2

£¬Óë0£¼b£¼3ì¶Ü£¬£¨7·Ö£©
Éèb¡Ý3µÃ-b¡Ü-3£¬µ±y=-3ʱ£¬|HN|_max²=2b²+18£¬£¬ÓÉ2b²+18=50µÃb²=16£¬£¨ºÏÌâÞ²£©
¡àÍÖÔ²·½³ÌÊÇ£º

x2

32

+

y2

16

=1£¨8·Ö£©
¢Ú£®Éèl£ºy=kx+mÓÉ

x2 32 + y2 16 =1 y=kx+m

⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
¶ø¡÷£¾0⇒m²£¼32k²+16£¨9·Ö£©
ÓÖA¡¢BÁ½µã¹ØÓÚ¹ýµãP(0£¬-

3

3

)¡¢QµÄÖ±Ï߶ԳÆ
¡àkPQ=-

1

k

£¬ÉèA£¨x₁£¬y₁£©£¬B£¨x₂£¬y₂£©£¬ÔòxQ=-

2km

1+2k2

£¬yQ=

m

1+2k2

£¨10·Ö£©
¡à

yQ+ 3 3

xQ

=-

1

k

⇒m=

1+2k2

3

£¨11·Ö£©
¡à(

1+2k2

3

)2£¼32k2+16⇒0£¼k2£¼

47

2

£¨10·Ö£©
ÓÖk¡Ù0£¬¡à-

94

2

£¼k£¼0»ò0£¼k£¼

94

2

£¨11·Ö£©
¡àÐèÇóµÄkµÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ-

94

2

£¼k£¼0»ò0£¼k£¼

94

2

£¨12·Ö£©