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    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    3
    =1    （a＞
    		3
    ）的离心率e=
    1
    2
    ．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
     （1）求椭圆E的方程；
     （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
    分析：（1）椭圆方程中给出了短半轴长，结合离心率等于
    1
    2
    即可求出a的值，则椭圆方程可求；
    （2）由椭圆的对称性可知圆心在x轴上，把x=t和椭圆方程联立求出圆的半径，然后由弦心距公式求出AB的长，代入面积公式后利用基本不等式求最值．
    解答：解：（1）∵椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    3
    =1    （a＞
    		3
    ）的离心率e=
    1
    2
    ，
    ∴
    		a2-3
    a
    =
    1
    2
    ，解得a=2．
    ∴椭圆E的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （2）依题意，圆心C（t，0）（0＜t＜2）．
    由
    x=t
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得y2=
    12-3t2
    4
    ．
    ∴圆C的半径为r=
    		12-3t2
    2
    ．
    ∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
    ∴0＜t＜
    		12-3t2
    2
    ，即0＜t＜
    2
    		21
    7
    ．
    ∴弦长|AB|=2
    		r2-d2
    =2
    12-3t2
    4
    -t2
    =
    		12-7t2
    ．
    ∴△ABC的面积S=
    1
    2
    •t•
    		12-7t2
    =
    1
    2
    		7
    ×(
    		7
    t)•
    		12-7t2

    ≤
    1
    2
    		7
    ×
    (
    		7
    t)2+12t-7t2
    2
    =
    3
    		7
    7
    ．
    当且仅当
    		7
    t=
    		12-7t2
    ，即t=
    		42
    7
    时等号成立．
    所以△ABC的面积的最大值为
    3
    		7
    7
    ．
    点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
    		2
    ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
    		2
    ．
    （1）求椭圆E与双曲线G的方程；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
    （3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
    （1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
    （2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
    		2
    -1），求此时的椭圆方程；
    （3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
    		2
    2
    ，-
    		3
    3
    ）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•佛山二模）已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个交点为F1(-
    		3
    ，0)    ，而且过点H(
    		3
    ，
    1
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +y2=1    （a＞1）的离心率e=
    		3
    2
    ，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
    （Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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