Question

【题目】已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．

(1)求该椭圆的离心率；

(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定点P(1，0)或P(7，0)，

【解析】试题分析：（1）由椭圆方程分别求出a,b,c的值，求出离心率；（2）假设在x轴上存在点p，设直线BC的方程为，B(x1，y1)，C(x2，y2)，

联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出的表达式，求出M,N的坐标，由MP⊥NP，求出P点的坐标，即得出定点。

试题解析：　(1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，从而椭圆的半焦距c＝＝1.

所以椭圆的离心率为e＝＝.

(2)依题意，直线BC的斜率不为0，

设其方程为x＝ty＋1.

将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

所以y1＋y2＝，y1y2＝.

易知直线AB的方程是y＝ (x＋2)，

从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．

假设x轴上存在定点P(p，0)使得MP⊥NP，则有·＝0.

所以(p－4)2＋＝0.

将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得

(p－4)2＋＝0，

所以(p－4)2＋＝0，

即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.

所以x轴上存在定点P(1，0)或P(7，0)，使得MP⊥NP.