Question

有下列命题：
①f（x）=a^x-l+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2）；
②已知f（x）=

( 1 2 )x，x＞3 f(x+1)，x≤3

则f（log₂5）=

1

10

，
③

sin(π-α)cos(-α)cos( 3π 2 -α)

cos( π 2 +α)sin(-π-α)

=cosα．
其中正确命题的个数为（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：①利用a⁰=1（a≠0），只要令x=1即可求出定点．
②先判断log₂5的大小，可知3＞log₂5＞2，而log₂5+1＞3，代入计算即可．
③利用诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，即可计算出．

解答：解：①当x=1时，f（1）=a⁰+1=2（a≠0），∴函数f（x）=a^x-l+l（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2），故①正确；
②∵2＜log₂5＜3，∴3＜log₂5+1，∴f（log₂5）=f（log₂5+1）=(

1

2

)log25+1=2-log25-1=(2log25)-1×2-1=5^-1×2^-1=

1

10

，∴②正确；
③

sin(π-α)cos(-α)cos( 3π 2 -α)

cos( π 2 +α)sin(-π-α)

=

sinαcosα(-sinα)

-sinα[-(-sinα)]

=cosα．故③正确．
综上可知：①②③皆正确．
故选A．

点评：本题综合考查了函数过定点问题、分段函数及三角恒等变形，充分理解a⁰=1（a≠0）、分段函数在不同区间的解析式不同、三角函数的诱导公式是解题的关键．