Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均相等，且∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作A₁H⊥平面ABC，H为垂足，以H为原点，过H作DB的平行线为x轴，HD为y轴，HA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB₁与底面ABC所成角的正弦值．

解答 解：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，
∴A₁A在平面ABC内的射影是∠BAC的角平分线
作A₁H⊥平面ABC，延长AH交BC于D
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均相等，设棱长为1，
则△ABC是边长为1的等边三角形，∴AD⊥BC
∵A₁H⊥BC，AD∩A₁H=H，∴BC⊥平面AA₁H
∵AA₁?平面AA₁H，
∴AA₁⊥BC，结合AA₁∥BB₁，得BB₁⊥BC
∴四边形BB₁C₁C是矩形，
以H为原点，过H作DB的平行线为x轴，HD为y轴，HA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
连结BA₁、CA₁，得A₁-ABC是正四面体，则H是△ABC的重心，
∴AH=$\frac{2}{3}\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，${{A}_{1}H}^{\;}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BD=$\frac{1}{2}$，DH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设AB₁与底面ABC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴AB₁与底面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与底面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．