Question

已知AC、BD为圆O：x²+y²=9的两条相互垂直的弦，垂足为N(

2

，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为

12

．

Answer 1

分析：可得圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，可得d₁²+d₂²的值，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式可得．

解答：解：∵圆O的方程为：x²+y²=9，
∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
∵N(

2

，2)，∴d₁²+d₂²=ON²=

2

²+2²=6
又AC=2

r2-d12

=2

9-d12

，BD=2

r2-d22

=2

9-d22

，
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

AC•BD=2

(9-d12)(9-d22)

≤（9-d12）+（9-d22）=18-6=12，当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
∴四边形ABCD面积的最大值为12．
故答案为：12

点评：本题考查直线与圆的位置关系，涉及对角线互相垂直的四边形面积的求法，以及基本不等式的运用，属中档题．