Question

【题目】已知直线过点，圆:.

（1）求截得圆弦长最长时的直线方程；

（2）若直线被圆N所截得的弦长为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）　；（2）或.

【解析】试题分析：（1）把圆N的方程化为标准方程，找出圆心的坐标，根据题意可知直线过圆心时截得的弦最长，故由及的坐标确定出直线的方程即可；（2）设直线与圆交于和两点的坐标，过圆心作垂直于，根据垂径定理得到为的中点，从而得到，接下来分两种情况考虑：第一，直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，把代入圆的方程中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解得到的值，经过检验得到时，弦的长为，符合题意；第二，当直线的斜率存在时，设出直线的斜率为，由的坐标和设出的斜率写出直线的方程，在直角三角形中，由的长及半径的长，利用勾股定理求出的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，令等于求出的的长列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程.

试题解析：（1）显然，当直线通过圆心Ｎ时，被截得的弦长最长，由，得　 故所求直线的方程为，即.

（2）设直线与圆N交于两点（如图），作交直线于点Ｄ，显然Ｄ为AB的中点，且有

（Ⅰ）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，将代入，得，解得，

因此符合题意

（Ⅱ）若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为　　即： ，由，得， ，因此，又因为点Ｎ到直线的距离

所以，即： ，此时直线的方程为，综上可知，直线的方程为或.