Question

在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a，b，使得对于一切正整数n，都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在，求出常数a和b，若不存在说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由条件得：
∴，
∴a_n=5n-4，
b_n=6^n-1．
（Ⅱ）假设存在a，b使a_n=log_ab_n+b成立，
则5n-4=log_a6^n-1+b，
∴5n-4=（n-1）log_a6+b，
∴（5-log_a6）n+（log_a6-b-4）=0对一切正整数恒成立．
∴，
既．
故存在常数，
使得对于n∈N^*时，都有a_n=log_ab_n+b恒成立．…（12分）
分析：（Ⅰ）由条件得：，由此能求出求结果．
（Ⅱ）假设存在a，b使a_n=log_ab_n+b成立，则5n-4=log_a6^n-1+b?5n-4=（n-1）log_a6+b?（5-log_a6）n+（log_a6-b-4）=0对一切正整数恒成立．由此能求出存在常数使得对于n∈N^*时，都有a_n=log_ab_n+b恒成立．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．