Question

f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0在区间（0，6）内整数解的个数是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由函数的周期为3可得f（x+3）=f（x），再结合函数的奇偶性确定出函数在给定区间上的零点个数，注意找全零点，不能漏掉．

解答：解：由函数的周期为3可得f（x+3）=f（x），由于f（2）=0，若x∈（0，6），则可得出f（5）=f（2）=0．
又根据f（x）为奇函数，则f（-2）=-f（2）=0，又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得出f（0）=0，从而f（3）=f（0）=0．
在f（x+3）=f（x）中，令x=-

3

2

，则有f（-

3

2

）=f（

3

2

）．再由奇函数的定义可得f（-

3

2

）=-f（

3

2

），∴f（

3

2

）=0．
故f（

9

2

）=f（

3

2

）=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，共7个解，故在区间（0，6）内整数解的个数是5，
故选D．

点评：本题考查抽象函数的求值问题，考查函数周期性的定义，函数奇偶性的运用，把握住函数零点的定义是解决本题的关键，属于中档题．