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f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0在区间(0,6)内整数解的个数是(  )
分析:由函数的周期为3可得f(x+3)=f(x),再结合函数的奇偶性确定出函数在给定区间上的零点个数,注意找全零点,不能漏掉.
解答:解:由函数的周期为3可得f(x+3)=f(x),由于f(2)=0,若x∈(0,6),则可得出f(5)=f(2)=0.
又根据f(x)为奇函数,则f(-2)=-f(2)=0,又可得出f(4)=f(1)=f(-2)=0.
又函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得出f(0)=0,从而f(3)=f(0)=0.
在f(x+3)=f(x)中,令x=-
3
2
,则有f(-
3
2
)=f(
3
2
).再由奇函数的定义可得f(-
3
2
)=-f(
3
2
),∴f(
3
2
)=0.
故f(
9
2
)=f(
3
2
)=f(4)=f(1)=f(3)=f(5)=f(2)=0,共7个解,故在区间(0,6)内整数解的个数是5,
故选D.
点评:本题考查抽象函数的求值问题,考查函数周期性的定义,函数奇偶性的运用,把握住函数零点的定义是解决本题的关键,属于中档题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=(
1
2
x,函数f(x)的值域为集合A.
(Ⅰ)求f(-1)的值;
(Ⅱ)设函数g(x)=
-x2+(a-1)x+a
的定义域为集合B,若A⊆B,求实数a的取值范围.

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A、-
3
4
(1-31007
B、-
3
4
(1+31007
C、-
1
4
(1-
1
31007
D、-
1
4
(1+
1
31007

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