Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

若f（-1）=0，且对定义域内任意实数x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表达式； 
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=a-b+1=0，由对定义域内任意实数x均有f（x）≥0成立，且a＞0可得△=b²-4a≤0，从而可求a，b进而可求f（x）即可
（2）由x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1是单调函数，结合二次函数的性质可知

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤2，从而可求

解答：解：（1）∵f（-1）=a-b+1=0①
∵对定义域内任意实数x均有f（x）≥0成立，且a＞0
∴△=b²-4a≤0②
①②联立可得（a-1）²≤0即a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+1
∴F（x）=

(x+1)2，x＞0 -(x+1)2，x＜0

（2）∵x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1是单调函数
又∵函数g（x）的对称轴为x=

k-2

2

∴

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤2
∴k≥6或k≤-2

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，及二次函数的性质：单调性的应用，属于 基本知识 的应用．