Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为4 ，求c．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB）， ∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，
∴sinA+sinB=2sinC，
∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）∵C= ，△ABC的面积为4 = absinC= ab，
∴ab=16，
∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，
∵a+b=2c，
∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4
【解析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．