Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E= ．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE= ，
∵A1A=4，A1E= ．
∴A1E2+AE2= ，∴AE⊥A1E，
∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，
∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．
（Ⅱ）解：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．

易知A1（0，0， ），B（ ，0，0），C（﹣ ，0，0），
A（0， ，0），D（0，﹣ ， ），B1（ ，﹣ ， ），
设平面A1BD的法向量为 =（x，y，z），
由 ，可取 ．
设平面B1BD的法向量为 =（x，y，z），
由 ，可取 ．
cos＜ ＞=
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣ ．
【解析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．