Question

已知函数f（x）=|x-8︳-︳x-4︳
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若f（x）＞

1

2

t²-4t+2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）函数f（x）=

4，x≤4 -2x+12，4＜x≤8 -4，x＞8

，令-2x+12=2，求得x=5，可得不等式f（x）＞2的解集．
（2）由（1）可得，-4≤f（x）≤4，要使f（x）＞

1

2

t²-4t+2恒成立，只要-4＞

1

2

t²-4t+2，解此一元二次不等式求得t的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x-8︳-︳x-4︳=

4，x≤4 -2x+12，4＜x≤8 -4，x＞8

，令-2x+12=2，求得x=5，
故不等式f（x）＞2的解集为（-∞，5）．
（2）由（1）可得，-4≤f（x）≤4，要使f（x）＞

1

2

t²-4t+2恒成立，只要-4＞

1

2

t²-4t+2，
即t²-8t+12＜0，求得2＜t＜6．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．