Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E在棱SD上．
（Ⅰ）当SD⊥平面AEC时，求

SE

DE

的值；
（Ⅱ）当二面角E-AC-D的余弦值为

2 5

5

时，求直线CD与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）当SD⊥平面AEC时，判断SD与AE的关系，通过解三角形即可求

SE

DE

的值；
（Ⅱ）确定，∴∠EAD就是二面角E-AC-D的平面角，利用（Ⅰ）的数据关系，推出当二面角E-AC-D的余弦值为

2 5

5

时，直线CD与平面ACE所成角的具体位置，然后求直线CD与平面ACE所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）当SD⊥平面AEC时，可得SD⊥AE，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，
∴SA⊥AD，∴SD=

5

，AE=

2

5

，

SE

DE

=

SA2-AE2

AD2-AE2

=

4- 4 5

1- 4 5

=4．
（Ⅱ）底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，∠ABC=60°，
∴AC⊥AD，SA⊥AC，AS∩AD=A，∴AC⊥平面SAD，
∴∠EAD就是二面角E-AC-D的平面角，
由（Ⅰ）可知：SD⊥平面AEC时，AE=

2

5

，此时二面角E-AC-D的余弦值为

2 5

5

，直线CD与平面ACE所成的角就是∠ECD，
它的正弦值为：

ED

CD

=

AD2-AE2

CD

=

1- 4 5

2

=

5

10

．

点评：本题考查张筱雨平面所成角的求法，二面角的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．