Question

直三棱柱ABC-EFG所有顶点在半径为

2

的球面上，AB=AC=

3

，AE=2，B-AE-C余弦为（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：根据条件求出AE=BE=CE=1，根据二面角的定义求出二面角的平面角，即可得到结论

解答： 解：如图

∵直三棱柱ABC-EFG的所有顶点都在半径为

2

的球面上，
∴球心O位于高的中点上，
∵AE=2，AO=

2

，
∴OM=1，AM=

OA2-OM2

=1，
同理MC=MB=1，即O在平面ABC的射影M为三角形ABC的外心，
∵AB=AC=

3

，
∴cosBAM=

AB2+AM2-BM2

2AB×AM

=

3+1-1

2 3 ×1

=

3

2

，
则∠BAM=

π

6

，同理∠CAM=

π

6

，
则∠BAC=

π

3

，
则∠BAC是二面角B-AE-C的平面角，
则cos∠BAC=cos

π

3

=

1

2

；
故选D．

点评：本题主要考查三棱柱中二面角的求法，首先根据二面角的定义找出二面角的平面角，然后计算大小，属于中档题．