Question

已知

k 0

是矩阵A=

1 0 m 2

的一个特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量

k 0

对应的特征值；
（Ⅱ）若B=

3 2 2 1

，求矩阵B^-1A．

Answer 1

考点：特征向量的定义

专题：计算题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）由特征向量的概念，可得

1 0 m 2

k 0

=λ

k 0

，列出方程，解出即可；
（Ⅱ）设B^-1=

a b c d

，由BB^-1=E，运用矩阵的乘法，列出方程，解出a，b，c，d．再由矩阵乘法，即可得到所求．

解答： 解：（Ⅰ）由于

k 0

是矩阵A=

1 0 m 2

的一个特征向量，
则

1 0 m 2

k 0

=λ

k 0

，即k=λk，mk=0，（k≠0）
解得，m=0，λ=1，
则m=0，向量

k 0

对应的特征值为1；
（Ⅱ）设B^-1=

a b c d

，
则BB^-1=E，即有

3 2 2 1

a b c d

=

1 0 0 1

，
则有

3a+2c=1 2a+c=0 3b+2d=0 2b+d=0

解得，

a=-1 b=2 c=2 d=-3

．
即设B^-1=

-1 2 2 -3

，
则有矩阵B^-1A=

-1 2 2 -3

1 0 0 2

=

-1 4 2 -6

．

点评：本题考查矩阵与变换、特征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．