Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3…）．数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

，T_n为数列b_n的前n项和．
（1）求a_n和T_n；
（2）若对于任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+8（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），易证a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*），于是可得：{a_n}是等差数列，再由等差数列的通项公式，即可得到通项，再由裂项相消求和，求得T_n；
（2）分别讨论n为奇数和偶数，运用分离参数，讨论右边的最小值，注意运用单调性和基本不等式，即可得到范围．

解答： 解：（1）当n≥2，n∈N^*时，由已知S_n=na_n-n（n-1）
得S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）．
两式相减得S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1）．
又S_n-S_n-1=a_n，所以（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=2（n-1）．
即a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*）．
所以{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
即a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．
则T_n=

n

2n+1

；
（2）由于对任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+8（-1）ⁿ恒成立，
则当n为奇数时，有λT_n＜n-8恒成立，
即有λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15，
由于2n-

8

n

-15在n≥1上递增，则n=1取得最小值，且为-21，
则λ＜-21；
当n为偶数时，有λT_n＜n+8恒成立，
即有λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17，
由于2n+

8

n

+17≥2

2n• 8 n

+17=25，当且仅当n=2，取得最小值，且为25．
则λ＜25．
由于对任意的n∈N⁺，不等式恒成立，则λ＜-21．
则实数λ的取值范围是（-∞，-21）．

点评：本题考查数列的通项和求和，着重考查运算、推理的能力，突出考查等差关系的确定与裂项法求和的综合应用，属于中档题．