Question

△ABC内角A、B、C成等差，
①若a、b、c成等比，则△ABC等边三角形；
②若a=2c，则△ABC锐角三角形；
③若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，则3A=C；
④若tanA+tanC＞-

3

，则△ABC为钝角三角形．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,解三角形,平面向量及应用

分析：△ABC内角A、B、C成等差数列⇒B=60°．
①，a、b、c成等比⇒b²=ac，利用余弦定理a²+c²-2accosB=ac可得a=c，可判断①；
②，若a=2c⇒sinA=2sinC，即sinA=2sin（120°-A），利用此式可求得A=90°，从而可判断②；
③，依题意，利用向量的加减运算可求得abcosC=0，即C=90°，结合B=60°⇒A=30°，可判断③；
④，令A=C=60°，举例说明可判断④．

解答： 解：∵△ABC内角A、B、C成等差，
∴2B=A+C，3B=A+B+C=180°，
∴B=60°．
对于①，若a、b、c成等比，则b²=ac，即a²+c²-2accosB=ac，
所以，a²+c²-2ac=（a-c）²=0，
所以a=c，故△ABC为等边三角形，①正确；
对于②，若a=2c，由正弦定理得：sinA=2sinC，即sinA=2sin（120°-A）=2sin120°cosA-2cos120°sinA=

3

cosA+sinA，
所以，

3

cosA=0，A=90°，△ABC为直角三角形，②错误；
对于③，因为

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

=

AB

（

AC

+

CB

）+

CA

•

CB

=

AB

2+abcosC，
所以，abcosC=0，C=90°，又B=60°，故A=30°，
所以，3A=C，③正确；
对于④，若A=C=60°，tanA+tanC=2

3

＞-

3

，但此时△ABC为锐角三角形，④错误．
综上所述，正确命题的个数是2个，
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查等差数列与等比数列的性质，考查向量的运算法则及数量积的应用，考查转化思想．