Question

7．已知直角坐标系xoy中，直线过点P（1，0），且倾斜角α为钝角，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标．曲线C的极坐标方程为ρ²（1+2sin²θ）=3
（1）写出直线l的参数方程和曲线C直角坐标方程；
（2）若α=$\frac{5π}{6}$，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求|MN|的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直角坐标系xoy中，直线过点P（1，0），且倾斜角α为钝角，能求出直线l的标准参数方程，由由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出直线l参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，把直线l代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1中，得3t²-2$\sqrt{3}t$-4=0，由此能求出|MN|．

解答 （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）∵直角坐标系xoy中，直线过点P（1，0），且倾斜角α为钝角，
∴直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数，其中α∈（$\frac{π}{2}$，π）），
∵曲线C的极坐标方程为ρ²（1+2sin²θ）=3，
∴ρ²+2ρ²sin²θ=3，
由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，得：
曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．       …（4分）
（Ⅱ）∵α=$\frac{5π}{6}$，∴sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，
把直线l代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1中，可得3t²-2$\sqrt{3}t$-4=0．
∵P（1，0）在椭圆内部，所以△＞0，且点M，N在点P异侧，
设点M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
则${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{4}{3}$，
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．      …（10分）

点评 本题考查直线的参数方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式、韦达定理的合理运用．