Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数， ，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2).

【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间；

（2）假设存在，使得成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．

详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，

∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．

(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.

∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，

∴.

①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；

②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；

③当0<t<1时，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减，

若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，

即2·<max{1，}．(*)

由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，

故≤2·≤2，而≤≤，∴不等式(*)无解．

综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．