Question

3．设a＞0，b＞0，若$\sqrt{5}$是5^a与5^b的等比中项，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据等比数列的性质，建立方程关系，利用1的代换，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{5}$是5^a与5^b的等比中项，
∴5^a•5^b=（$\sqrt{5}$）²=5，
即5^a+b=5，
则a+b=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=1+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2+2=4，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=b=$\frac{1}{2}$时，取等号，
即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4，
故选：B

点评 本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．