Question

已知函数f（x）=

4x2+1

x

（x＞0）．
（1）求数列{a_n}满足a₁=1，

1

an+1

=f(an)，求a_n；
（2）若b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小正整数P，使对任意x∈N^*，都有b_n＜

P

25

成立．

Answer 1

分析：（1）根据

1

an+1

=f(an)化简可得数列{

1

a 2 n

}是首项为1，公差为4的等差数列，求出数列{

1

a 2 n

}通项，从而求出a_n；
（2）根据（1）可求出b_n，从而求出b_n+1，将两式作差得b_n+1-b_n＜0，得到{b_n}是递减数列，存在最大项b₁，只需b₁＜

P

25

求出P，即可求出所求．

解答：解：（1）由

1

an+1

=

4 a 2 n +1

an

得(

1

an+1

)2-(

1

an

)2=4
∴数列{

1

a 2 n

}是首项为1，公差为4的等差数列
∴

1

a 2 n

=4n-3，又a_n＞0，所以a_n=

1 4n-3

（2）根据（1）得b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+

a

2 2n+1

=

1

4n+1

+

1

4n+5

+…+

1

8n+1

b_n+1=

1

4n+5

+

1

4n+9

+…+

1

8n+9

因为b_n+1-b_n=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

＜

2-2

8n+4

=0，所以{b_n}是递减数列
存在最大项b₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，依题意，只需b1=

14

45

＜

P

25

，解得P＞

70

9

又P∈N^*，所以存在最小正整数P=8，使不等式成立．

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及数列的通项公式和数列与函数的综合、数列与不等式的综合，同时考查了计算能力，属于中档题．