Question

已知实数x,y满足+y²=1，（1）求U=x²+y²-2y的取值范围；（2）求V=取值范围；（3）将点M(x,y)到直线l:x+2y=4的距离记为d，求d的取值范围.

Answer 1

思路解析：满足题设条件的点（x,y）的轨迹是椭圆，因此可利用参数方程将x,y表示为三角函数，把问题转化为三角问题求解.

解：∵+y²=1,∴设(0≤θ＜2π)

（1）U=x²+y²-2y=4cos²θ+sin²θ-2sinθ=-3sin²θ-2sinθ+4=-3(sinθ+)²,∵-1≤sinθ≤1,∴当sinθ=1时,即x=0,y=1时，有U_min=-1;

当sinθ=-时，即x=±,y=-时有U_max=,故U的范围是［-1,］.

（2）∵V==,∴sinθ-2Vcosθ=2-3V.

∴sin(θ+φ)=2-3V.

∴|sin(θ+φ)|≤1.

∴1+4V²≥(2-3V)³,

即5V²-12V+3≤0.

∴≤V≤.

（3）d==|sinθ+cosθ-2|=.

∴当sin(θ+)=1时,即x=,y=时，

有d_min=|-2|=;

当sin(θ+)=-1时,即x=-,y=-时，

有d_max=|--2|=.

∴d的取值范围是［，］.