【题目】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
W | 12 | 15 | 18 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.
(1)求Z的分布列和均值;
(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.
【答案】
(1)解:设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有
,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.
当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).
将z=1000x+1200y变形为 ,
当x=2.4,y=4.8时,直线l: 在y轴上的截距最大,
最大获利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160.
当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)..
将z=1000x+1200y变形为 ,
当x=3,y=6时,直线l: 在y轴上的截距最大,
最大获利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200.
当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).
将z=1000x+1200y变形为: ,
当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800.
故最大获利Z的分布列为:
Z | 8160 | 10200 | 10800 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
(2)解:由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,
由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:
.
【解析】(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,列出可行域,目标函数,通过当W=12时,当W=15时,当W=18时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z的分布列.求出期望即可.(2)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可.
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【题目】“a≤0”是“函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x),若方程f'(x)=0无解,且f[f(x)﹣2017x]=2017,当g(x)=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣ , ]上与f(x)在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1]
B.(﹣∞, ]
C.[﹣1, ]
D.[ ,+∞)
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【题目】已知函数f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2 , a∈R. (Ⅰ)若函数f(x)在区间 上有单调递增区间,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)证明不等式: .
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【题目】将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)的一条对称轴是
B.函数g(x)的一个对称中心是
C.函数g(x)的一条对称轴是
D.函数g(x)的一个对称中心是
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,过椭圆 右焦点的直线 交椭圆C于M,N两点,P为M,N的中点,且直线OP的斜率为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设另一直线l与椭圆C交于A,B两点,原点O到直线l的距离为 ,求△AOB面积的最大值.
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【题目】如图,椭圆C1: =1(a>b>0)的离心率为 ,x轴被曲线C2:y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长.
(Ⅰ)求C1 , C2的方程;
(Ⅱ)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E.
(i)证明:MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是S1 , S2 . 问:是否存在直线l,使得 = ?请说明理由.
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