Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ， a∈R． （Ⅰ）若函数f（x）在区间 上有单调递增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明不等式： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题知f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， ，
当a=0时， 在 上恒成立，即 为函数f（x）的单调递增区间，满足条件；
当a≠0时，由f′（x）=0，得x=0，或 ．
若a＞0， ，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）上单调递增，显然， 为函数f（x）的单调递增区间；
若a＜0，要使函数f（x）在 上有单调递增区间，则f′（x）＞0的解集与 有公共区间，即 ，﹣1＜a＜0．
综上所述，若函数f（x）在区间 上有单调递增区间，则实数a的取值范围为（﹣1，+∞）；
证明：（Ⅱ）a=1时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＜f（0）=0恒成立，
即 ln（1+x）﹣x﹣x2＜0，
即ln（1+x）＜x+x2在区间（0，+∞）上恒成立，
取x=n，n∈N* ， 则0＜ln（1+n）＜n+n2 ，
即 ，
即 ，
∴ ， ， ，…， ， ．
∴ ，
即 ．
【解析】（Ⅰ）由题知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求出函数的导函数，可得当a=0时，f′（x）＞0在 上恒成立；当a≠0时，求出导函数的两个零点，分a＞0和a＜0讨论求得使函数f（x）在 上有单调递增区间的a的范围；（Ⅱ）取a=1，可知在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，由此得到ln（1+x）＜x+x2在区间（0，+∞）上恒成立， 取x=n，n∈N* ， 则0＜ln（1+n）＜n+n2 ， 得 = ，分别取n=1，2，3，…，n，利用累加法证明 ．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．