Question

【题目】设函数f（x）=，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围为（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先画出函数f（x）图像，记t=f（x0），存在唯一的x0，所以必有t＞1，所以f（t）=2a2m2+am＞1对任意给定的m∈（1，+∞）恒成立，因式分解得（ma+1）（2ma－1）＞0，因为ma+1＞0，所以2ma－1＞0恒成立，代入m=1即可.

解：作出函数f（x）的图象如图：由图象知当x＞0时，f（x）=log2x的值域为R，

当－1≤x≤0，f（x）的取值范围为[0，1]，

当x＜－1时，f（x）的取值范围是（－∞，1），

即由图象知当f（x）≤1时，x的值不唯一，设t=f（x0），

当x＞0时，由f（x）=log2x≥1得x≥2，则方程f（f（x0））=2a2m2+am，

等价为f（t）=2a2m2+am，

因为2a2m2+am＞0

所以若存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，

则t＞1，即由f（x）=log2x＞1得x＞2，

即当x＞2时，f（f（x））与x存在一一对应的关系，则此时必有f（f（x））＞1，

即2a2m2+am＞1，得（ma+1）（2ma－1）＞0，

因为ma+1＞0，

所以不等式等价为2ma－1＞0，设h（m）=2ma－1，

因为m＞1，a＞0，

所以只要h（1）≥0即可，得2a－1≥0，得a≥，

即实数a的取值范围是[，+∞）．

故选：A．