Question

【题目】设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证：f（x2）≥（ ﹣1）x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， f′（x）=2x+ = ，
令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a，
①当a≥ 时，△≤0，g（x）≥0，从而f′（x）≥0，
故函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
②当a＜ 时，△＞0，g（x）=0的两个根为
x1= ，x2= ，
当a≤0时，x1≤﹣1＜x2 ， 此时，当x∈（﹣1， ），函数f（x）单调递减；
当x∈（ ，+∞），函数f（x）单调递增．
当0＜a＜ 时，﹣1＜x1＜x2 ， 此时函数f（x）在区间（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增；
当x∈（ ， ）函数f（x）单调递减．
综上：当a≥ 时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜ 时，函数f（x）在区间（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增；
在区间（ ， ），函数f（x）单调递减；
当a≤0时，x∈（﹣1， ）函数f（x）单调递减，
x∈（ ，+∞）函数f（x）单调递增…（6分）
（Ⅱ）证明：当函数f（x）有两个极值点时，0＜a＜ ，x2= ∈（﹣ ，0），
且g（x2）=2 +2x2+a=0，即a=﹣2 ﹣2x2 ，
f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
=x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），
h′（x）=﹣2ln（x+1）﹣1，令h′（x）＞0，x∈（﹣ ， ﹣1），函数单调递增；
令h′（x）＜0，x∈（ ﹣1，0），函数单调递减；
∴h（x）max=h（ ﹣1）= ﹣1，∴ ≤ ﹣1，
∵x2∈（﹣ ，0），
∴f（x2）≥（ ﹣1）x2 ．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）得到a=﹣2 ﹣2x2 ， 根据f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），得到 =x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而证明结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．