Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦点为F1 ， F2 ， 离心率为 ，点P为其上动点，且三角形PF1F2的面积最大值为 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使 =m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知椭圆的离心率e= = ，则a=2c，

当P位于短轴的端点时，△PF1F2的面积最大，即 ×2c×b= ，bc= ，

由a2=b2+c2，则a=2，b= ，c=1，

∴椭圆的标准方程：

（2）

解：设M（x1，y1）、N（x2，y2）， =x1x2+y1y2=m，

当直线MN到斜率存在时，设其方程：y=kx+b，

则点O到直线MN的距离d= ，

则 ，整理得：（4k2+3）x2+8kbx+4b2﹣12=0，

由△＞0，整理得：4k2﹣b2+3＞0，

由x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

则x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=m，

整理得：7× =12+ ，为常数，则m=0，d= = ，

此时7× =12，满足△＞0，

当MN⊥x轴时，m=0，整理得kOM=±1，

，则x2= ，

则d=丨x丨= ，亦成立，

综上可知：m=0，d=

【解析】（1）由题意可知：由椭圆的离心率e= ，则a=2c，当P位于短轴的端点时，△PF1F2的面积最大，在bc= 及a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线MN的斜率存在时，设其方程，代入椭圆方程，根据点到直线的距离公式，韦达定理及向量数量积的坐标运算，要使7× =12+ ，为常数，则m=0，d= = ，当直线的斜率不存在时，d=丨x丨= ，亦成立．