【题目】某电子产品公司前四年的年宣传费x(单位:千万元)与年销售量y(单位:百万部)的数据如下表所示:
x(单位:千万元) | 1 | 2 | 3 | 4 |
y(单位:百万部) | 3 | 5 | 6 | 9 |
可以求y关于x的线性回归方程为 =1.9x+1.
参考公式:回归方程 =
x+
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
=
,
=
﹣
.
(1)该公司下一年准备投入10千万元的宣传费,根据所求得的回归方程预测下一年的销售量m:
(2)根据下表所示五个散点数据,求出y关于x的线性回归方程 =
x+
.
x(单位:千万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
y(单位:百万部) | 3 | 5 | 6 | 9 | m |
并利用小二乘法的原理说明 =
x+
与
=1.9x+1的关系.
【答案】
(1)解:根据y关于x的线性回归方程为 =1.9x+1,
计算x=10时, =1.9×10+1=20;
即公司投入10千万元的宣传费,预测下一年的销售量m=20百万部
(2)解:根据下表所示五个散点数据,
计算 =
×(1+2+3+4+10)=4,
=
×(3+5+6+9+20)=6.6;
x(单位:千万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
y(单位:百万部) | 3 | 5 | 6 | 9 | 20 |
∴ xiyi=1×3+2×5+3×6+4×9+10×20=267,
=12+22+32+42+102=130,
∴回归系数为 =
=
=2.7,
=
﹣
=6.6﹣2.7×4=﹣4.2,
求出线性回归方程为 =2.7x﹣4.2;
散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,
称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线;
使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法
【解析】(1)根据线性回归方程计算x=10时 的值即可;(2)根据表中五个散点数据,计算
、
以及回归系数,写出线性回归方程, 解释回归直线与最小二乘法的关系即可.
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【题目】已知无穷数列{an}的各项都是正数,其前n项和为Sn , 且满足:a1=a,rSn=anan+1﹣1,其中a≠1,常数r∈N;
(1)求证:an+2﹣an是一个定值;
(2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数T,使得对任意n∈N* , 都有an+T=an成立,则称{an}为周期数列,T为它的一个周期,求该数列的最小周期;
(3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列,cn=23n﹣1(n∈N*),问:数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例.
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【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的焦点为F1 , F2 , 离心率为
,点P为其上动点,且三角形PF1F2的面积最大值为
,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点M,N为C上的两个动点,求常数m,使 =m时,点O到直线MN的距离为定值,求这个定值.
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【题目】已知空间四边形ABCD中,AB=BD=AD=2,BC=1,CD= ,若二面角A﹣BD﹣C的取值范围为[
,
],则该几何体的外接球表面积的取值范围为 .
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【题目】牛顿法求方程f(x)=0近似根原理如下:求函数y=f(x)在点(xn , f(xn))处的切线y=f′(xn)(x﹣xn)+f(xn),其与x轴交点横坐标xn+1=xn﹣ (n∈N*),则xn+1比xn更靠近f(x)=0的根,现已知f(x)=x2﹣3,求f(x)=0的一个根的程序框图如图所示,则输出的结果为( )
A.2
B.1.75
C.1.732
D.1.73
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【题目】已知函数f(x)=lnx(x>0).
(Ⅰ)求证:f(x)≥1﹣ ;
(Ⅱ)设g(x)=x2f(x),且关于x的方程x2f(x)=m有两个不等的实根x1 , x2(x1<x2).
(i)求实数m的取值范围;
(ii)求证:x1x22< .
(参考数据:e=2.718, ≈0.960,
≈1.124,
≈0.769,ln2≈0.693,ln2.6≈0.956,ln2.639≈0.970.注:不同的方法可能会选取不同的数据)
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【题目】已知椭圆 ,离心率
,它的长轴长等于圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0的直径.
(1)求椭圆 C的方程;
(2)若过点 的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在定点Q,使得以AB为直径的圆经过这个定点,若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由?
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【题目】已知函数f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为( )
A.( ,
]
B.( ,
]
C.( ,
]
D.( ,
]
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