Question

【题目】已知椭圆的离心率e= ，左、右焦点分别为F1、F2 ， 定点，P（2， ），点F2在线段PF1的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M、F2N的倾斜角分别为α、β且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆C的离心率e= = ，则a= c，
椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上
∴丨F1F2丨=丨PF2丨，∴（2c）2=（ ）2+（2﹣c）2 ， 解得：c=1，
则a= ，b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆的方程为 ；
（Ⅱ）证明：由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m
由 消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
设M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2），则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
且 = ， =
由已知α+β=π，得 + =0，即 + =0，
化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，
∴2k× ﹣（m﹣k）（ ）﹣2m．整理得m=﹣2k．
∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），
∴直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率求得a= c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得 = ， = ，由 + =0，结合韦达定理，即可求得m=﹣2k．则直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．