Question

已知两不共线向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（　　）

• A．|

  a

  |=|

  b

  |=1
• B．（

  a

  +

  b

  ）⊥（

  a

  -

  b

  ）
• C．

  a

  与

  b

  的夹角等于α-β
• D．

  a

  与

  b

  在

  a

  +

  b

  方向上的投影相等

Answer 1

分析：由模长公式可得|

a

|=|

b

|=1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．

解答：解：由模长公式可得|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，即|

a

|=|

b

|，故A正确；
∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=|

a

|²-|

b

|²=0，∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），故B正确；
由夹角公式可得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)．
当α-β∈[0，π]时，＜

a

，

b

＞=α-β；当α-β∉[0，π]时，＜

a

，

b

＞≠α-β，故C不正确；
由投影相等可得

a •( a + b )

| a + b |

=

b •( a + b )

| a + b |

?|

a

|2+

a

•

b

=

a

•

b

+|

b

|2?|

a

|=|

b

|，故D正确．
故选C

点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．