Question

20．已知函数f（x）=ax²+4x-1．
（1）当a=1时，对任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，试比较f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）与$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$的大小；
（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，-3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）与$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$的表达式，作差即可；
（2）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x²+4x-1，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{4}$+2（x₁+x₂）-1=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$x₁x₂+2（x₁+x₂）-1，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{4x}_{1}-1{{+x}_{2}}^{2}+{4x}_{2}-1}{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+2（x₁+x₂）-1；
故f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）-$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$x₁x₂=-$\frac{1}{4}$${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$≤0；
（2）∵f（x）=ax²+4x-1=a（x+$\frac{2}{a}$）²-1-$\frac{4}{a}$，
显然f（0）=-1，对称轴x=-$\frac{2}{a}$＜0．
①当-1-$\frac{4}{a}$＜-3，即0＜a＜2时，g（a）∈（-$\frac{2}{a}$，0），且f[g（a）]=-3．
令ax²+4x-1=-3，解得x=$\frac{-2±\sqrt{4-2a}}{a}$，
此时g（a）取较大的根，即g（a）=$\frac{-2+\sqrt{4-2a}}{a}$=$\frac{-2}{\sqrt{4-2a}+2}$，
∵0＜a＜2，∴g（a）＞-1．
②当-1-$\frac{4}{a}$≥-3，即a≥2时，g（a）＜-$\frac{2}{a}$，且f[g（a）]=3．
令ax²+4x-1=3，解得x=$\frac{-2±\sqrt{4+6a}}{a}$，
此时g（a）取较小的根，即g（a）=$\frac{-2-\sqrt{4+6a}}{a}$=$\frac{-6}{\sqrt{4+6a}-2}$，
∵a≥2，∴g（a）=$\frac{-6}{\sqrt{4+6a}-2}$≥-3．当且仅当a=2时，取等号．
∵-3＜-1∴当a=2时，g（a）取得最小值-3．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．