Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax²，e=2.71828…，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-2）x+b．
（1）求a，b的值；
（2）设x≥0，求证：f（x）＞x²+4x-14．

Answer 1

分析 （1）求导数，得切线方程，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-2）x+b，即可求a，b的值；
（2）由（1）可得f（x）=e^x-x²，证明f（x）＞x²+4x-14，只要证明e^x-2x²-4x+14＞0，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-a）=（e-2a）（x-1），
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-2）x+b
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-2）x+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{e-2a=e-2}\\{e-2+b=e-a}\end{array}\right.$，
∴a=b=1；
（2）证明：由（1）可得f（x）=e^x-x²，要证f（x）＞x²+4x-14，
只要证明e^x-2x²-4x+14＞0．
设g（x）=e^x-2x²-4x+14，g′（x）=e^x-4x-4，
设h（x）=e^x-4x-4，则h′（x）=e^x-4，
∴h（x）在（0，2ln2）上单调递减，（2ln2，+∞）上单调递增，
设曲线y=h（x）与x轴的交点为（m，0）
∵h（0）=-3＜0，h（2）=e²-12＜0，h（3）=e³-16＞0，
∴2＜m＜3，e^m=4m+4，
∵x∈（0，m），g′（x）＜0，x∈（m，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（m）=18-2m²，
∵2＜m＜3，∴g（x）≥2（9-m²）＞0，即f（x）＞x²+4x-14．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，属于中档题．