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    【题目】已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是__________________．

    【答案】

    【解析】

    由题意，根据双曲线的定义和题设条件，求得|PF1|=2a，|PF2|=4a，再由三角形的性质，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围。

    ∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，∴|PF2|=|PF1|+2a ①，

    又=8a ②，

    ∴由①②可得|PF1|=2a，|PF2|=4a．

    ∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即，∴ ③，

    又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，∴2a+2c＞4a，∴＞1 ④．

    由③④可得1＜≤3．

    故双曲线的离心率的取值范围是(1，3]．

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    ①证明： ；

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