Question

（本小题满分12分）设某物体一天中的温度是时间的函数：，其中温度的单位是，时间单位是小时，表示12:00，取正值表示12:00以后．若测得该物体在8:00的温度是，12:00的温度为，13:00的温度为，且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度关于时间的函数关系式；
（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00和14:00），何时温度最高，并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数在区间上的平均值为，求该物体在8:00到16:00这段时间内的平均温度．

Answer 1

（1）（2）11:00和14:00时，该物体的温度最高，最高温度为（3）在8:00到16:00这段时间的平均温度为

解析试题分析：（1）根据条件，得，，，，
可以解得，
．                                              ……4分
（2），
当时，；
当时，．
在区间上单调递增，在上单调递减，即是极大值点．……8分
，
在10:00到14:00这段时间中，11:00和14:00时，该物体的温度最高，最高温度为．
（3）按规定，平均温度为，
即该物体在8:00到16:00这段时间的平均温度为．                       ……12分
考点：本小题主要考查函数的实际应用、利用导数求最值和定积分的计算，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力和由实际问题向数学问题转化的能力以及求解计算能力.
点评：利用导数求解实际生活中的最值问题是高考常考考点，主要是函数模型的建立，对函数解析式的求导，判断单调性，求最值等.问题背景虽然各不相同，但函数模型有限，要总结规律，找出共同的分析思路和一般的解决方法，做到思路清晰，解法成熟，胸有成竹.