Question

已知函数f(x)=

1

2x+1

+m，m∈R．
（1）若m=-

1

2

，求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，考察f（-x）=-f（x）或f（x）+f（-x）=0在定义域内是否恒成立，若是则为奇函数，否则不是奇函数．
（2）求导函数，确定f（x）的单调性，要使函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，先考察其对立面即在区间（1，2）恰有一个零点时m的取值范围，最后由此求补集即可求得所求实数m的取值范围．

解答：解：（1 ）定义域为R关于原点对称．因为
f（x）+f（-x）=

1

2x+1

-

1

2

+

1

2-x+1

-

1

2

=

1

2x+1

-

1

2

+

2x

2x+1

-

1

2

=0，
所以函数f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）f'（x）=-

2xln2

(1+2x)2

＜0，
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（m+

1

3

）（m+

1

5

）＜0解之得-

1

3

＜m＜-

1

5

，故函数
f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥-

1

5

或m≤-

1

3

…（14分）

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的解，属于中档题．