Question

11．若lg（x-1）+lg（3-x）＜lg（a+x）成立，则实数a的取值范围是（-1，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由对数有意义可得x的范围，再由对数的性质可化问题为二次函数的最值问题，求最值可得．

解答 解：由对数有意义可得x-1＞0且3-x＞0且a+x＞0，
解得1＜x＜3，且a＞-x，故a＞-1，
再由对数的运算可得lg（x-1）（3-x）＜lg（a+x），
即（x-1）（3-x）＜a+x，可得a＜x-（x-1）（3-x）
=x²-3x+3，1＜x＜3，只需要a小于x²-3x+3（1＜x＜3）的最小值，
由二次函数可得当x=$\frac{3}{2}$时，x²-3x+3取最小值$\frac{3}{4}$，
故答案为：（-1，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查指对不等式的解法，涉及二次函数区间的最值，属基础题．