Question

15．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）

• A． $\frac{5}{11}$
• B． $\frac{20}{21}$
• C． $\frac{10}{21}$
• D． $\frac{10}{11}$

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{i}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i-1}$-$\frac{1}{i+1}$），模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）的值，用裂项法计算即可得解．

解答 解：∵$\frac{1}{{i}^{2}-1}$=$\frac{1}{（i+1）（i-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i-1}$-$\frac{1}{i+1}$），
∴模拟执行程序，可得
n=10，S=0，i=2
满足条件i≤10，S=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），i=4
满足条件i≤10，S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），i=6
满足条件i≤10，S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），i=8
满足条件i≤10，S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），i=10
满足条件i≤10，S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$），i=12
不满足条件i≤10，退出循环，输出S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{11}$）=$\frac{5}{11}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．