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已知f(x)是定义在集合D上的函数,且-1<f′(x)<0.
(1)若f(x)=-
x
2
+asinx
,在[
π
2
,π
]([
π
2
,π
]⊆D)上的最大值为
1-π
4
,试求不等式|ax+1|<a的解集.
(2)若对于定义域中任意的x1,x2,存在正数ε,使|x1-1|<
ε
2
且|x2-1|<
ε
2
,求证:|f(x1)-f(x2)|<ε.
分析:(1)由函数的单调性得到函数的最大值,进而得到a的值,解出不等式即可;
(2)不妨设x1<x2,令g(x)=f(x)+x,由已知得到函数g(x)的单调性,进而得到f(x1)-f(x2 )<x2-x1 ,又由函数f(x)的单调性,得到|f(x1)-f(x2 )|<|x2-x1 |≤|x2-1|-|x1 -1|<?,即得证.
解答:解:(1)由于f′(x)<0,则函数f(x)在[
π
2
,π]
上单调递减,
fmax(x)=f(
π
2
)=-
π
2
2
+asin
π
2
=
1-π
4
,解得a=
1
4

则原不等式为|
1
4
x+1|<
1
4
,解之得-5<x<-3
故原不等式的解集为(-5,-3);
(2)不妨设x1<x2,令g(x)=f(x)+x
由于f′(x)>-1,故g′(x)=f′(x)+1>0,则函数g(x)为其定义域上的增函数,
g(x1)<g(x2 ),亦即f(x1)+x1<f(x2 )+x2 
f(x1)-f(x2 )<x2-x1 
又由函数f(x)在D上递减,则f(x1)>f(x2 )
|f(x1)-f(x2 )|<|x2-x1 |
|f(x1)-f(x2 )|<|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|<
?
2
+
?
2
=?
|f(x1)-f(x2 )|<?
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)证明函数a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函数;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
对所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求实数x=1的取值范围.

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8、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2009)=(  )

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系
a>b>c
a>b>c

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