Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4，（-1≤x＜0）}\\{sinπx，（x＞0）}\end{array}\right.$且f（x）-ax≥-1对于定域内的任意的x恒成立，则a的取值范围是-6≤a≤0．

Answer 1

分析 利用转化法不等式化为f（x）+1≥ax，再分类讨论分段函数对应的解析式，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：由f（x）-ax≥-1得f（x）+1≥ax，
当x＞0时，不等式等价为sinπx+1≥ax，
∵当x＞0时，sinπx+1≥0，
而y=ax过原点，∴此时则a≤0，
当-1≤x＜0时，不等式的等价为x²+5≥ax，
即$\frac{{x}^{2}+5}{x}$≤a，
即x+$\frac{5}{x}$≤a恒成立，
设g（x）=x+$\frac{5}{x}$，则g′（x）=1-$\frac{5}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-5}{{x}^{2}}$，
当-1≤x＜0时，g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，
则g（x）≤g（-1）=-1-5=-6，
即a≥-6；
综上，a的取值范围是-6≤a≤0．
故答案为：-6≤a≤0．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合分类讨论转化为求函数的最值是解决本题的关键．