Question

已知数列{x_n}满足x₂=

1

2

x₁，x_n=

1

2

（x_n-1+x_n-2）（n=3，4，5，…），若

lim

n→∞

xn=2，则x₁=

 

．

Answer 1

分析：要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜测通项．并注意无穷递缩等比数列的极限

解答：解：∵x2=

1

2

x1，且xn=

1

2

(xn-1+xn-2)令n=3，
得 x3=

1

2

(x2+x1)=

3

4

x1，令n=4，
得 x4=

1

2

(x2+x3)  =

5

8

x1，
∴x2-x1=-

1

2

x1，x3-x2=

1

4

x1，x4-x3=-

1

8

x1，…，xn- xn-1 =(-

1

2

)n-1，
于是x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=x1+

- 1 2 x1[1-(- 1 2 )n-2]

1+ 1 2

∴

lim

n→∞

xn=x1-

1

3

x1=2，x₁=3．
故答案为3．

点评：求出前几项后，观察数列的特征，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．考查计算能力．