Question

已知数列{xn}满足：x1=1且xn+1=

xn+4

xn+1

，n∈N*．
（1）计算x₂，x₃，x₄的值；
（2）试比较x_n与2的大小关系；
（3）设a_n=|x_n-2|，S_n为数列{a_n}前n项和，求证：当n≥2时，Sn≤2-

2

2n

．

Answer 1

分析：（1）利用已知的递推式，n分别取2，3，4，代入计算即可得到x₂，x₃，x₄的值；
（2）根据条件可得x_n+1-2与x_n-2相反，而x₁=1＜2，则x₂＞2，依此类推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2；
（3）根据递推式，当n≥2时，xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，则x_n＞1，所以我们有|xn+1-2|=|

xn+4

xn+1

-2|=

|xn-2|

xn+1

＜

1

2

|xn-2|，从而可得an＜

1

2

an-1＜…＜(

1

2

)n-1a1=(

1

2

)n-1(n≥2)，再求和，即可得到所要证明的结论．

解答：（1）解：∵x₁=1，xn+1=

xn+4

xn+1

，n∈N*
∴x2=

1+4

1+1

=

5

2

；x3=

5 2 +4

5 2 +1

=

13

7

；x4=

13 7 +4

13 7 +1

=

41

20

．…（3分）
（2）解：∵当n≥2时，xn+1-2=

xn+4

xn+1

-2=

-xn+2

xn+1

=-

xn-2

xn+1

又xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，x1=1，则xn＞0
∴x_n+1-2与x_n-2相反，而x₁=1＜2，则x₂＞2
依此类推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2…（8分）
（3）证明：∵当n≥2时，xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，x1=1，
∴x_n＞1，
∴|xn+1-2|=|

xn+4

xn+1

-2|=

|xn-2|

xn+1

＜

1

2

|xn-2|
∴an＜

1

2

an-1＜…＜(

1

2

)n-1a1=(

1

2

)n-1(n≥2)
∴

n

i=1

an＜1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-21-n
∴当n≥2时，Sn≤2-

2

2n

．…（14分）

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的项及项的性质，考查放缩法证明不等式，同时考查等比数列的求和，解题的关键是正确运用好递推式．