Question

【题目】如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，若AM丄平面ABD，且AM=
（1）求证：DM⊥平面ABC；
（2）求二面角C﹣BM﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：法一（几何法）：如图，取BD中点N，连结AN，CN，MN，

∵将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，

∴AN⊥BD，CN⊥BD，

∵平面ABD丄平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN平面CBD，CN⊥BD，

∴CN⊥平面ABD，又AM⊥平面ABD，∴CN∥AM，

又CN=AM=AN= ，∴AMCN是正方形，∴AC⊥MN，

由BD⊥AN，BD⊥CN，AN∩CN=N，得BD⊥平面AMCN，∴BD⊥AC，

又BD∩MN=N，∴AC⊥平面BDM，∴AC⊥MD，

∵AM⊥平面ABD，∴AM⊥AB，

又AB⊥AD，AM∩AD=A，∴AB⊥平面AMD，

∴AB⊥DM，又AC⊥DM，AB∩AC=A，

∴DM⊥平面ABC．

法二（向量法）：如图，取BD中点N，连结AN，CN，MN，

∵将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，

∴AN⊥BD，CN⊥BD，

∵平面ABD丄平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN平面CBD，CN⊥BD，

∴CN⊥平面ABD，

以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1， ），D（0，2，0），M（0，0， ），

=（2，0，0）， =（1，1， ）， =（0，﹣2， ），

∵ =0， =0，

∴DM⊥AB，DM⊥AC，

又AB∩AC=A，∴DM⊥平面ABC

（2）解：（2）B（2，0，0），C（1，1， ），D（0，2，0），M（0，0， ），

∴ =（﹣2，0， ）， =（﹣1，1， ）， =（﹣2，2，0），

设平面CBM的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1， ），

设平面DBM的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=1，得 =（1，1， ），

∴cos＜ ＞= = ，

设二面角C﹣BM﹣D的平面角为θ，由图知θ为锐角，

∴cosθ= ，则θ= ，

∴二面角C﹣BM﹣D的大小为 ．

【解析】（1）法一（几何法）：取BD中点N，连结AN，CN，MN，推导出AN⊥BD，CN⊥BD，从而CN⊥平面ABD，再求出AM⊥平面ABD，从而CN∥AM，推导出AC⊥MN，BD⊥AC，AC⊥MD，从而AM⊥平面ABD，进而AM⊥AB，再由AB⊥AD，得AB⊥平面AMD，由此能证明DM⊥平面ABC．法二（向量法）取BD中点N，连结AN，CN，MN，以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DM⊥平面ABC．（2）取BD中点N，连结AN，CN，MN，以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CBM的法向量和平面DBM的法向量，利用向量法能求出二面角C﹣BM﹣D的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．