Question

1．已知正数a，b满足a+b=2，则$\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+1}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 正数a，b满足a+b=2，则a+1+b+1=4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：正数a，b满足a+b=2，则a+1+b+1=4．
则$\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+1}$=$\frac{1}{4}$[（a+1）+（b+1）]$（\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+1}）$=$\frac{1}{4}$$（5+\frac{b+1}{a+1}+\frac{4（a+1）}{b+1}）$≥$\frac{1}{4}（5+2\sqrt{\frac{b+1}{a+1}×\frac{4（a+1）}{b+1}}）$=$\frac{1}{4}×（5+4）$=$\frac{9}{4}$，
当且仅当a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{8}{3}$时原式有最小值．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．