【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=,AC=3, BC=2,P是△ABC内的一点.
(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点,求PA的长;
(2)若∠BPC=,设∠PCB=θ,求△PBC的面积S(θ)的解析式,并求S(θ)的最大值.
【答案】(1) (2)S(θ)=
,S(θ)的最大值为
【解析】试题分析:(1)在△PAC中,已知两边一角求第三边,根据余弦定理可得(2)先由正弦定理用θ表示PC,再根据三角形面积公式得S(θ),利用二倍角公式以及配角公式将S(θ)化为基本三角函数形式,再根据正弦函数性质求最大值
试题解析: 解 (1)解法一:∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点,且BC=2,
∴∠PCB=,PC=
,
又∵∠ACB=,∴∠ACP=
,
在△PAC中,由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos=5,∴PA=
.
解法二:依题意建立如图直角坐标系,则有C(0,0),B(2,0),A(0,3),
∵△PBC是等腰直角三角形,∠ACB=
,
∴∠ACP=,∠PBC=
,
∴直线PC的方程为y=x,直线PB的方程为y=-x+2,
由得P(1,1),
∴PA==
,
(2)在△PBC中,∠BPC=,∠PCB=θ,
∴∠PBC=-θ,
由正弦定理得=
=
,
∴PB=sinθ,PC=
sin
,
∴△PBC的面积S(θ)=PB·PCsin
=sin
sinθ
=2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+
cos2θ-
=sin
-
,θ∈
,
∴当θ=时,△PBC面积的最大值为
.
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【题目】已知函数f(x)=log2(16x+k)﹣2x (k∈R)是偶函数.
(1)求k;
(2)若不等式m﹣1≤f(x)≤2m+log217在x∈[﹣1, ]上恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 ,且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P(﹣2,0).
(1)求双曲线C的方程及它的渐近线方程;
(2)求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.
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【题目】给出下列叙述: ①若α,β均为第一象限,且α>β,则sinα>sinβ
②函数f(x)=sin(2x﹣ )在区间[0,
]上是增函数;
③函数f(x)=cos(2x+ )的一个对称中心为(﹣
,0)
④记min{a,b}= ,若函数f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的值域为[﹣1,
].
其是叙述正确的是(请填上序号).
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【题目】已知椭圆 +
=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),点H(2,
)在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,问:△PF2Q的周长是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明理由.
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【题目】下列函数f(x)中,满足“对任意x1、x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A.f(x)=(x﹣1)2
B.f(x)=ex
C.f(x)=
D.f(x)=ln(x+1)
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