Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n为数列{n+a_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=3S_n+1与a_n+2=3S_n+1+1作差、计算可知数列{a_n}是以1为首项、4为公比的等比数列，进而可得结论；
（2）通过（1）知n+a_n=n+4^n-1，进而利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=3S_n+1，
∴a_n+2=3S_n+1+1，
两式相减得：a_n+2-a_n+1=3a_n+1，即a_n+2=4a_n+1，
又∵a₂=3a₁+1=4=4a₁满足上式，
∴数列{a_n}是以1为首项、4为公比的等比数列，
∴a_n=4^n-1；
（2）由（1）知n+a_n=n+4^n-1，
∴T_n=（1+2+…+n）+（1+4+4²+…+4^n-1）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{3}•$4ⁿ-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．