Question

6．已知在数列{a_n}中，a_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，求证：S_2n ＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 通过数学归纳法证明S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，放缩相加即得结论．

解答 证明：∵a_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
∴S_2n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$，
则1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$
=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$
=$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{2k+1}$+（$\frac{1}{k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$）
=$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$，
即当n=k+1时命题也成立；
由①、②可知S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$．
∴S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$
≤$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$
=n•$\frac{1}{\sqrt{2}n}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查数列的求和，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于难题．